LA BALANZA

Observa la siguiente balanza:

Tienes que averiguar hacia qué lado se inclinará la balanza, siguiendo las siguientes pistas:

1. Cuatro bolas rojas pesan los mismo que cinco bolas verdes.

2. Dos bolas verdes y una roja, pesan lo mismo que una amarilla.

VOLVEMOS AL TAMGRAM

Con las piezas del Tamgram deberás conseguir hacer la siguiente figura:

Puedes hacerte en casa tu propio Tamgram con la siguiente plantilla

ESTO NO SON LAS TRES EN RAYA

Observa el siguiente tablero de 8x8:

Objetivo del juego:

Has de completar las casillas con "X" y con "O" atendiendo a una serie de reglas básicas:

1. No puede haber tres símbolos iguales consecutivos, ni por filas ni por columnas.
2. En cada fila hay cuatro "X" y cuatro "O".
3. Las secuencias no pueden repetirse ni en filas distintas ni en columnas distintas.

CONEXIONES ESTELARES

Puedes observar que cada estrella tiene un número en su interior. Ese número indica el total de conexiones que llegan o salen de esa estrella.

Objetivo: 

Debes marcar las conexiones que hay entre todas las estrellas. Para ello debes tener en cuenta las siguientes reglas.

1. Entre dos estrellas puede haber como máximo dos conexiones.

2. No puede quedar ninguna estrella sin conexiones.

3. Las conexiones no pueden hacerse en diagonal ni tampoco cruzarse con otras conexiones.

Un último consejo: ¡utiliza un lápiz! Posiblemente tendrás que borrar más de una vez.

CONTANDO BOLAS DE BILLAR

Esta semana os planteo el siguiente problema:

Tenemos 12 bolas de billar, de las cuales cuatro tienen el número 6; otras cuatro el número 5 y las cuatro restantes el número 1.

 También tenemos tres cajas, las nombraremos A, B y C. 

 Introducimos, sin mirar, cuatro bolas en cada una de las cajas.

Sabemos que:

Las bolas de la caja A suman 19

Las bolas de la caja B suman 17

Las bolas de la caja C suman 12

Averigua cuáles son las bolas que hay dentro de cada caja.

NOTA: Solo se aceptará respuesta correctamente justificada.

TAMGRAM

No es la primera vez que os hablo en este Blog del Tamgram, si buscas en la sección de etiquetas de este Blog, en "retos matemáticos", encontrarás la entrada que hice sobre este sorprendente y antiguo juego, en ella tienes numerosas figuras para ir practicando y el acceso a una plantilla para que te hagas tu propio Tamgram.

Pero el reto de hoy no es ninguna de esas figuras humanas o de animales, sino la que te muestro a continuación.

Objetivo:

Realizar con las piezas del Tamgram la siguiente doble flecha.

Puedes hacerte en casa tu propio Tamgram con la siguiente plantilla

CUADRADO MÁGICO RACIONAL

Un cuadrado mágico es una distribución cuadrada en la que las sumas de los números que en él aparecen, tanto las filas, como las columnas, como las diagonales, suman la misma cantidad.

Los cuadrados mágicos han existido desde hace mucho tiempo, podemos encontrarlos en el arte, por ejemplo, en el cuadro "Melancolía" de Alberto Durero o en la Sagrada Familia, como puedes ver en el siguiente enlace.

Y claro está, es un reto interesante para mis pequeños genios. Así pues, el reto de esta semana es un cuadrado mágico, un poco especial, pues está formado por números racionales.

Objetivo

 Coloca en el cuadrado mágico los números racionales : 1, 1/2, 3/2, 1/3, 2/3, 4/3, 1/6, 5/6 y 7/6,  de manera que  tanto las filas, como las columnas, como las diagonales, sumen lo mismo.

CIFRAS Y MÁS CIFRAS

Reglas del juego:

• Hay que colocar dentro de los círculos las cifras del 1 al 9, sin repetir ninguna.
• La suma de las cifras que están en los vértices de los cuadrados y del triángulo central es el número que aparece en su interior.
• No puede haber números consecutivos en dos vértices contiguos.

SIGUIENDO LA PISTA COMO SHERLOCK HOLMES

Objetivo:

Con las pistas que te doy a continuación deberás descubrir el NOMBRE de cuatro personas (dos hombres y dos mujeres), sus EDADES respectivas, cuáles son sus TRABAJOS y en qué CIUDAD vive cada uno.


Puedes ayudarte de la siguiente tabla para ir completando los datos:

Pistas:

1. El mayor de todos tiene 50 años y el menor 30, uno de ellos es de Huelva.

2. La maestra no es Marta, pero sí es la que vive en Sevilla.

3. La doctora es de Cáceres.

4. Carlos es andaluz y no es el peluquero.

5. Carmen es dos años mayor que Raúl.

6. El madrileño tiene 30 años.

7. El policía y la doctora se llevan 5 años.

SUDOKU

Objetivo:

Hay que completar las casillas vacías con un solo número del 1 al 9.

Reglas: 

No puede haber números repetidos en una misma fila, ni en una misma columna ni en una misma región cuadrada.

NOTA: 

No coloques números al azar, solo aquellos que tengas la certeza de que ocupan ese lugar. 

Intenta completar primero las filas, columnas o regiones cuadradas que tengan más números puestos

EL NÚMERO DESCONOCIDO

Observa la siguiente imagen:

Pista:

En cada cuadrado verde el número que aparece se ha obtenido con una operación utilizando los cuatro números que lo rodean (los que están en los círculos amarillos).

Objetivo:

Averigua de qué operación combinada se trata y calcula el número desconocido del último cuadrado.

Fecha tope: viernes 28 de septiembre

LA CARROZA

Observa el valor de la suma de las letras de las palabras que aparecen a continuación:

Pistas:

• Cada letra tiene un valor distinto, entre los números naturales del 1 al 6.
• La letra R tiene un valor impar.
• Las letras O, E y Z tienen valores que son números consecutivos, en ese orden.

Objetivo:

Con la ayuda de las pistas y de las sumas de las letras de las palabras anteriores, debes calcular el valor de cada letra y el valor de la palabra CARROZA.

SUPERFICIE DE LA ESFERA

Si te has preguntado por qué la superficie de la esfera es 4 π r <sup>2 

visualiza el siguiente vídeo que lo demuestra de forma experimental:</sup>

GEOMETRÍA

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS

ÁREAS Y PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS

ÁREA Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

TRIÁNGULO DE TARTAGLIA

Ya hemos visto en clase de 4º cómo se construye el Triángulo de Tartaglia, también conocido como triángulo de Pascal,

 y la utilidad que tiene para calcular las potencias de un binomio, ya que todas las cifras escritas en cada fila del triángulo corresponden a los coeficientes del desarrollo de las potencias del binomio de Newton. 

Lo que a lo mejor no sabes es que este triángulo esconde dentro de sí varias curiosidades. Lo primero que te diré es que hace muchos años que se utiliza, no hay más que ver la siguiente imagen:

Triángulo de Shih-Chieh (1303)

En tercero de ESO vimos el número de oro, Φ , y su relación con la Sucesión de Fibonacci, que era aquella sucesión recurrente cuyos términos se obtenían sumando los dos anteriores, siendo los dos primeros términos igual a 1; es decir, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..... Pues bien, los términos de esta sucesión aparecen en la suma de las diagonales del triángulo de Tartaglia:

Pero...... si lo que sumamos son las filas, lo que obtenemos son ......

que puedes ver que son todas las potencias de base 2.

Pero, aún hay más, observa la siguiente imagen:

Te recuerdo lo que son los números triangulares: La sucesión 1, 3, 6, 10, …. Se llama sucesión de números triangulares, pues  pueden recomponerse para formar sucesivos triángulos equiláteros (como muestran los dibujos).

NOTA: Por convención, el primer número triangular es el 1, aunque con un punto no pueda formarse ningún triángulo.

Del mismo modo los números tetraédricos son la sucesión de números 1, 4, 10, 20, ... que pueden recomponerse para formar tetraedros:

Por último, os comento otra forma de construir el triángulo de Tartaglia y que  es mediante números combinatorios:

El número    se llama también número combinatorio. Se representa por  y se lee "m sobre n". Y es el número de subconjuntos de n elementos que pueden formarse con un conjunto de m elementos. 

Para calcular su valor se calcula mediante la siguiente expresión: 

siendo m! = m.(m-1).(m-2)....2.1 ( se lee m factorial)

Hay muchas más curiosidades dentro de este triángulo que te invito a descubrir en el libro El Diablo de los números , escrito en 1997 en alemán por Hans Magnus Enzensberger o viendo el siguiente vídeo:

FRACCIONES

Seguro que estás ya acostumbrado a utilizar expresiones como:

  "Dame un cuarto de Boquerones"   o   "Me he bebido un tercio de cerveza" o  "Compra medio queso",  pero ...... ¿sabes si antiguamente conocían las fracciones? ¿Qué civilizaciones las utilizaban? ¿Tenían símbolos especiales para ello?

Entre las tribus antiguas no parece haber existido prácticamente ninguna necesidad de usar fracciones; para las necesidades cuantitativas usuales el hombre puede elegir unidades lo suficientemente pequeñas como para evitar la necesidad de usar fracciones. Por lo tanto no hubo tampoco un progreso ordenado y lineal de las fracciones binarias a las quinarias y finalmente a las decimales, sino que los decimales fueron producto de la época moderna de la matemática y no del período antiguo.

En esta tabla puedes ver su evolución cronológica:




Vamos a ver algunas de las civilizaciones que las utilizaban y sus símbolos, empezaremos con los babilónicos.

Para ello puedes visualizar la siguiente presentación "Fracciones en el mundo babilónico"

Egipto

En el antiguo Egipto, el uso de las fracciones era algo muy común. En la tablilla de Ajmim y el papiro de Rhid, o papiro de Ahmes (este último que se encuentra en el museo de Londres desde el año 1865 y Data del año 1650 a.C) aparecen varios problemas y antecedentes que nos brindan una gran información sobre las matemáticas en el antiguo Egipto, aunque también se ha conseguido información sobre la matemática en Egipto a partir de tallados en piedras, inscripciones y calendarios. 

Los egipcios tenían una curiosa forma de representar las fracciones:

• Sólo utilizaban fracciones unitarias (con numerador 1), salvo casos excepcionales como la fracción 2/3 la cual tenía símbolo especial.
• El resto de fracciones las descomponían como suma de fracciones unitarias distintas:

            Por ejemplo 3/4 = 1/2 + 1/4

Para representar estas fracciones unitarias utilizaban un símbolo  parecido a un óvalo, que significaba parte, como muestra la figura:

                                            

Los chinos y las fracciones

Los chinos conocían muy bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de hallar el mínimo común denominador de varias fracciones. Como era su costumbre asignaban un rol femenino y otro masculino a los elementos que componen la fracción. Se referían al numerador como “el hijo” y al denominador como “ la madre”.  Más importante que estas curiosidades era, no obstante, la tendencia a la decimalización de las fracciones en China.  La adopción de un sistema decimal en pesos y medidas dio como resultado que se impusiera el hábito decimal en el manejo de las fracciones.

EL TAMGRAM

        El tangram es un rompecabezas de origen chino que probablemente apareció hace tan sólo 200 ó 300 años. Los chinos lo llamaron "tabla de sabiduría" y "tabla de sagacidad" haciendo referencia a las cualidades que el juego requiere. 

La misma palabra "tangram" es un invento occidental: Se supone que fue creada por un norteamericano aficionado a los rompecabezas, quien habría combinado tang, una palabra cantonesa que significa "chino", con el sufijo inglés gram (-grama) que significa "escrito" o "gráfico" (como en cardiograma).                                                                    

         Los primeros libros sobre el tangram aparecieron en Europa a principios del siglo XIX y presentaban tanto figuras como soluciones. Se trataba de unos cuantos cientos de imágenes en su mayor parte figurativas como animales, casas y flores... junto a una escasa representación de formas abstractas. A lo largo del siglo XIX aparecieron diversos libros de tangram chinos, que fueron copiados por las editoriales europeas, buena prueba de la popularidad que había adquirido el juego. A partir de 1818 se publicaron libros de tangram en EE. UU., Inglaterra, Francia, Alemania, Austria e Italia.

        En la introducción al libro publicado en Italia se hacía notar que el tangram se jugaba "en todas partes con verdadera pasión". En efecto, aunque una antigua enciclopedia china lo describía como "un juego de mujeres y niños", el tangram se había convertido en una diversión universal.

        En cuanto al número de figuras, la mayor parte de las publicaciones occidentales copiaron las figuras chinas originales, que ascendían a algunos cientos. Al principio el tangram fue publicado en forma de libro, en torno a 1870 se concedía más atención al juego mismo y sus siete componentes, de forma que el tangram era producido y vendido como un objeto: piezas de marfil, tarjetas con las siluetas y envoltorio en forma de caja.

        Hacia 1900 se habían añadido nuevas figuras y formas geométricas, llegando a un total de más de 900 y en 1973, los diseñadores holandeses Joost Elffers y Michael Schuyt produjeron una edición en rústica con 750 figuras nuevas, alcanzando así un total de más de 1.600. La edición de 1973 ha vendido hasta la fecha más de un millón de ejemplares en todo el mundo.

Puedes descargarte aquí tu plantilla para Tamgram, imprímela y recórtala.

Plantilla Tamgram

Estos son algunos ejemplos de figuras que puedes hacer con las piezas de un Tamgram, en ellas es fácil identificar la posición de las piezas. 

Cuando hayas practicado un poco te invito a que pruebes con las que están en negro, aquí tienes 120 posibles figuras, aunque existen muchas muchas más:

SUDOKU

¿Cómo?
¿Que aún no has resuelto nunca un Sudoku?
¿Qué nadie te ha explicado cómo se hacen?

Pues te invito a hacerlo ahora mismo.

Primero te daré las instrucciones:

Regla 1: hay que completar las casillas vacías con un solo número del 1 al 9.

Regla 2: en una misma fila no puede haber números repetidos.

Regla 3: en una misma columna no puede haber números repetidos.

Regla 4: en una misma región no puede haber números repetidos.

Regla 5: la solución de un sudoku es única.

Te invito a ponerte a prueba. Empieza por el más fácil y ...... ¡ a ver si eres capaz de llegar a resolver el más difícil de todos!

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

A lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha buscado diferentes maneras de representar cantidades. 

Si nos remontamos hacia más de dos mil años, los pueblos de aquella época no utilizaban números para contar objetos, sino que hacían uso de cualquier elemento que pudiera servirles para contar, ya sea utilizando sus propios dedos, dibujando símbolos, marcando bastones (ramas) o haciendo nudos en una cuerda, entre otros.

Veamos en este vídeo una pequeña introducción de los sistemas de numeración:

Si quieres saber más sobre los sistemas de numeración, sigue leyendo.

SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICO

Los sumerios, sobre el año 3000 a.C., habían desarrollado un sistema de escritura que conocemos como cuneiforme (en forma de cuña). Una de las ciudades dominantes en esta época fue Babilonia, en la que se han recuperado de las arenas de desierto, una gran cantidad de tablillas de arcilla con este tipo de escritura, más de dos millares de éstas tenían un contenido matemático y astronómico.

Se utilizan dos tipos diferentes de cuña: una cuña delgada y vertical para representar el número 1, y una gruesa y horizontal para el número 10; éstos, como se observa en la figura inferior, se disponían en grupos para indicar los números 2 – 9 y 20 – 50; esta norma se detiene en el número 59. Ya que el sistema de numeración babilónico era sexagesimal (en base 60).

Así escribían los primeros 59 números:

Para escribir otros números utilizaban un complejo sistema, que podrás comprender si ves el siguiente vídeo:

 

SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA

Uno de los aspectos que más destacan en el sistema de numeración Maya es que ellos simbolizaron el cero. Vemos también que éste era de carácter posicional y en base 20, utilizando principalmente rayas y puntos para simbolizar los números. En donde el caracol representaba al cero, los puntos al 1 y la raya al 5.

En cuanto a la disposición de las cifras, vemos que éstas se escriben verticalmente y con las unidades en la parte inferior. Además agruparon símbolos hasta el 19, asignando a los números mayores un valor según la posición en que se encuentran. Los símbolos con que representaron los números hasta el 19 son:

Si quieres ver cómo se forman los números en este sistema, mira el siguiente vídeo:

SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO (3000 a.C)

Los egipcios se vieron enfrentados a la necesidad de realizar cálculos y considerar dimensiones para, por ejemplo, llevar a cabo sus construcciones, situación que los desafió a encontrar algún modo de representar las cantidades utilizadas. Además, vemos que representaron las cifras utilizadas en papiros, dándoles a éstas un uso práctico, relacionados principalmente con la geometría y la aritmética.

Los egipcios tenían un sistema de numeración decimal (contaban de 10 en 10, lo cual se asocia con que tengamos 10 dedos), no utilizaban símbolos para representar el cero y realizaban jeroglíficos que les permitían identificar el orden en que se agrupaban las unidades en las cuales estaban trabajando.

Los símbolos egipcios eran:

Utilizaban un procedimiento aditivo para representar los números, en donde acumulaban todos los signos pertenecientes al número que querían representar y formaban con ello el número.

Es importante mencionar que el orden en que se escribían los símbolos utilizados les era indiferente, debido a que cada figura representaba exclusivamente un único valor. De esta manera, independiente del orden en que éstos se presentaban, el valor no cambiaba. Es decir, su representación podía realizarse de izquierda a derecha, de abajo hacia arriba y viceversa, sin alterar el valor de la cifra mencionada.

Puedes ver ejemplos en el siguiente vídeo:

SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO

Si existe un sistema de numeración que ha perdurado en el tiempo, ese es el romano. Actualmente lo utilizamos para numerar capítulos o escenas de una obra de teatro, para designar el nombre de algunas autoridades (como emperadores, reyes y papas), para ordenar los contenidos de un índice y los tomos de una enciclopedia, entre otros.

En relación con los símbolos que utilizaron para representar cantidades, fueron letras mayúsculas, que en nuestro sistema de numeración equivalen a un número específico. Así tenemos,

Ahora bien, para representar cantidades con números romanos es importante que tener en consideración ciertas reglas que se explican con claridad en el siguiente vídeo:

SISTEMA DE NUMERACIÓN CHINO (1500 a.C.)

La cultura china es indudablemente una de las más completas y antiguas de la humanidad. Su legado perdura hasta la actualidad, ya que han sido gestores de grandes descubrimientos, realizando aportes importantes para la humanidad.

En relación con el sistema de numeración que ellos utilizaron, éste era decimal, en donde utilizaron las unidades y las distintas potencias de 10 para representar cantidades. Tenían 9 símbolos distintos para los primeros 9 números pero ningún símbolo para representar el cero.

Los símbolos eran:

Su representación de los números se basó en un principio multiplicativo y era de carácter posicional, por lo que dependiendo de la posición que tenía el símbolo (cifra) en el número, el valor que éste iba a tener.

Como podemos ver, el sistema de numeración chino tiene semejanzas con el que utilizamos nosotros actualmente, sin embargo, tanto los símbolos con que representan cantidades, como la orientación que los números pueden adquirir en una cifra, es distinta. Además, vemos que su disposición es híbrida, es decir, a la hora de componer los números emplean tanto la multiplicación como la adición, por lo que cada cifra es acompañada por otra que la multiplica, y en donde la suma total de dichas multiplicaciones da la cifra total.