TRIÁNGULO DE TARTAGLIA

Ya hemos visto en clase de 4º cómo se construye el Triángulo de Tartaglia, también conocido como triángulo de Pascal,

 y la utilidad que tiene para calcular las potencias de un binomio, ya que todas las cifras escritas en cada fila del triángulo corresponden a los coeficientes del desarrollo de las potencias del binomio de Newton. 

Lo que a lo mejor no sabes es que este triángulo esconde dentro de sí varias curiosidades. Lo primero que te diré es que hace muchos años que se utiliza, no hay más que ver la siguiente imagen:

Triángulo de Shih-Chieh (1303)

En tercero de ESO vimos el número de oro, Φ , y su relación con la Sucesión de Fibonacci, que era aquella sucesión recurrente cuyos términos se obtenían sumando los dos anteriores, siendo los dos primeros términos igual a 1; es decir, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..... Pues bien, los términos de esta sucesión aparecen en la suma de las diagonales del triángulo de Tartaglia:

Pero...... si lo que sumamos son las filas, lo que obtenemos son ......

que puedes ver que son todas las potencias de base 2.

Pero, aún hay más, observa la siguiente imagen:

Te recuerdo lo que son los números triangulares: La sucesión 1, 3, 6, 10, …. Se llama sucesión de números triangulares, pues  pueden recomponerse para formar sucesivos triángulos equiláteros (como muestran los dibujos).

NOTA: Por convención, el primer número triangular es el 1, aunque con un punto no pueda formarse ningún triángulo.

Del mismo modo los números tetraédricos son la sucesión de números 1, 4, 10, 20, ... que pueden recomponerse para formar tetraedros:

Por último, os comento otra forma de construir el triángulo de Tartaglia y que  es mediante números combinatorios:

El número    se llama también número combinatorio. Se representa por  y se lee "m sobre n". Y es el número de subconjuntos de n elementos que pueden formarse con un conjunto de m elementos. 

Para calcular su valor se calcula mediante la siguiente expresión: 

siendo m! = m.(m-1).(m-2)....2.1 ( se lee m factorial)

Hay muchas más curiosidades dentro de este triángulo que te invito a descubrir en el libro El Diablo de los números , escrito en 1997 en alemán por Hans Magnus Enzensberger o viendo el siguiente vídeo:

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

 

Os dejo las siguientes láminas para trabajar áreas,  perímetros, volúmenes,….

TRIGONOMETRÍA

 

    Mónica Mª Vázquez Vera 

CC BY-NC-SA 4.0 

FUNCIONES RACIONALES

 Funciones racionales:

•  Funciones de proporcionalidad inversa:

Las funciones de proporcionalidad inversa son aquellas cuya expresión algebraica es : 
    y= k / x           siendo k un número no nulo.

 Propiedades de la función de proporcionalidad inversa

§  Su dominio es R - {0}

§  En x=0 presentan una discontinuidad de salto infinito. Por tanto, eje Y, es una asíntota vertical de la función.

§  El eje X es una asíntota horizontal.

§  Son crecientes si  k <0  y decrecientes si k > 0.

§  No tienen puntos de corte con los ejes.

§  Sus ramas son simétricas respecto del origen de coordenadas, es una función IMPAR.

§  Su representación gráfica es una hipérbola:

Ejemplo: Representa gráficamente la función y=  3/x 

(Para ello, tenemos en cuenta todas las características mencionadas antes, pero como en ellas no tenemos puntos destacables hay que hacer tabla de valores, como la gráfica está dividida en dos partes, hacemos dos tablas de valores; una para valores mayores que cero y otra para valores menores que cero, la cual, por simetría respecto al origen, tendrá las imágenes opuestas a las anteriores. Dibujamos la curva que pasa por dichos puntos teniendo en cuenta las asíntotas).

• Funciones racionales del tipo: F(X) = (ax+b)/(cx+d)

Nota:  c y d no son cero simultáneamente.

Las gráficas de estas funciones también son hipérbolas, pero sus asíntotas ya no son los ejes de coordenadas (como en el caso de las de proporcionalidad inversa).

 Propiedades de la función 

§  Su dominio es R - {valor dónde se anula su denominador}

§  Tiene una asíntota vertical que pasa por el valor que le hemos quitado al dominio.

§   La asíntota horizontal es la recta y= a/c

§  Sí tienen puntos de corte con los ejes.

§  Sus ramas son simétricas respecto del punto dónde se cortan sus asíntotas

Para ver un ejemplo visualiza el siguiente vídeo, pincha en la imagen:

ÁREAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS COMPUESTAS

  Una figura compuesta es aquella que está formada por varias figuras simples unidas por un lado, por ejemplo:

Observa que la figura A está formada por dos rectángulos y un trapecio rectángulo. La figura B está formada por un rectángulo y tres cuadrados iguales.

                                                                  Perímetro de figuras compuestas:

El perímetro de una figura compuesta es la suma de todos sus lados , es decir, la longitud de su contorno. 

Cuidado porque a veces sumamos los lados de cada figura por separado, alturas, diagonales, etc, que no tienen nada que ver con el contorno de la figura, mira los siguientes ejemplos de figuras compuestas, el perímetro de estas figuras sería el contorno, es decir, lo que he dibujado de amarillo, solo eso.

Visualiza el siguiente vídeo que he grabado para explicaros cómo se haría el perímetro de la Figura A. 

Área de figuras compuestas: 

"El área de una figura compuesta es la superficie que ocupa"

Para calcular el área de una superficie compuesta, se divide la figura en polígonos más simples, cuya fórmula para calcular su área sí conocemos y después se hace el total de todas ellas.

Visualiza el siguiente vídeo que he grabado para explicaros cómo se haría el área de la Figura A de antes:

Practica: Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras compuestas:

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

• La circunferencia: "Es una línea curva cerrada, en la que todos sus puntos están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro".

• Elementos de una circunferencia:

- Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.
- Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.
- Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.
- Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.

- Arco: Parte de la circunferencia, comprendida entre dos de sus puntos.

•  Longitud de la circunferencia:  para calcular la longitud de una circunferencia, utilizamos la siguiente fórmula:

donde r es el radio y el número "pi" lo aproximamos por 3,14.



Si tienes dudas sobre cómo calcular la longitud de una circunferencia consulta el siguiente vídeo:  

• Longitud de un arco de circunferencia: para calcular la longitud de un arco de una circunferencia de radio, r, y de ángulo central que mide nº, se utiliza la fórmula:

Si tienes dudas sobre cómo calcular la longitud de un arco de circunferencia, puedes ver un ejemplo en el siguiente vídeo:

• El círculo: "es la superficie delimitada por una circunferencia". 

•  Área del círculo: para calcular la longitud de una circunferencia, utilizamos la siguiente fórmula:

donde r es el radio y el número "pi" lo aproximamos por 3,14.

Sienes dudas sobre cómo calcular el área de un círculo, consulta los siguiente vídeo:  

  

• Área de un sector circular : para el área de un sector circular de radio r y de ángulo central de amplitud nº, se utiliza la siguiente fórmula:

Sienes dudas sobre cómo calcular el área de un sector circular, consulta los siguiente vídeo:  

FUNCIONES A TROZOS

Una función a trozos es aquella que tiene distintas expresiones algebraicas para diferentes intervalos.

Por ejemplo:

          

Esto significa que esta función tendrá una gráfica distinta en cada uno de los tramos indicados, para valores menores o iguales que dos y para valores mayores que 2. En este ejemplo, el punto x=2 (que es el valor donde se divide en dos el dominio) la función puede presentar una discontinuidad de salto finito o evitable o sin embargo que la función sea continua,  eso ya dependerá de cada caso. 

Para saber cómo se representa gráficamente dicha función mira los siguientes vídeos:

FUNCIONES CUADRÁTICAS

 Funciones polinómicas de grado 2: funciones cuadráticas

Una función cuadrática tiene la expresión:

siendo a≠0.

La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola. Para dibujar dicha parábola tenemos que estudiar las siguientes características:

• Posición: Las parábolas tienen forma de $\cup$ (si a>0) o de $\cap$ (si a<0).
• Vértice: Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a<0) o un mínimo (si a>0), este punto es el vértice de la parábola.

            - La primera coordenada del vértice es: 

            - La segunda coordenada es la imagen del valor obtenido antes:

• Eje de la parábola: La parábola es simétrica respecto de la recta vertical que pasa por su vértice, a esta recta se le llama eje de la parábola.
• Punto de corte con el eje Y: Que será (0,c), pues f(0)=c.
• Puntos de corte con el eje X: Que los obtenemos resolviendo la ecuación.
• Tabla de valores: Completaremos con una tabla de valores, pero hay que dar valores próximos al vértice y que no sean los puntos de corte con el eje X.

Visualiza el siguiente vídeo para ver cómo se hace:

INICIACIÓN A LAS ECUACIONES DE LA RECTA

Vamos a ver cómo se obtiene la ecuación de una recta, hay muchas ecuaciones de la recta pero nos centraremos en tres de ellas:

- Ecuación punto-pendiente
- Ecuación explícita
- Ecuación general o implícita

Pero, antes de esto vamos a ver cómo se calcula la pendiente de una recta, conocidos dos puntos de la misma.

• Obtención de la pendiente conociendo dos puntos  de una recta:

 La pendiente de la recta que pasa por dos puntos conocidos, se obtiene  mediante este cálculo: 

Ejemplos: Pueden darnos la recta dibujada, entonces cogemos dos puntos de la misma, caso a); o bien, pueden darnos directamente dos puntos, caso b)

• Ecuación de la recta conocido un punto y su pendiente:

A la siguiente ecuación se le llama ecuación punto-pendiente de la recta: 

   

_,   donde m es la pendiente y P(x₁, y₁) son las coordenadas del punto.

Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto  y m=-2. 

Sustituyendo en la ecuación punto-pendiente con  e , y m=-2 tenemos que (y-3) = -2(x-(-1)), multiplicando obtenemos: y-3 =-2x-2, de donde despejando la variable y, obtenemos: y= -2x +1

NOTA: Esta última es la ecuación que solemos conocer de las funciones afines, es del tipo y=mx+n, a esta ecuación se le llama ecuación explícita de la recta.

Si en cambio, en el ejemplo anterior, pasamos todos los términos a un mismo miembro, quedará: y+2x-1=0.

NOTA: Ésta última forma de expresar la ecuación, que es del tipo ay+bx+c=0,  es la llamada ecuación general o implícita de la recta.

•  Ecuación de la recta conocidos dos puntos:

Como conocemos dos puntos, podemos calcular su pendiente con la fórmula dada en el apartado anterior y ya con la pendiente y cualquiera de los puntos que nos dan, procedemos como antes.

Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B( 3, -4).

Calculamos la pendiente: 

Con la pendiente m = -5 y con el punto A(2,1), puede ser también con el B, calculamos la ecuación punto- pendiente:  y-1= -5(x-2). 

Si queremos o nos piden la ecuación explícita, despejamos la variable y, quedando:       y = -5x+11.

Si queremos o nos piden la ecuación general, pasamos todos los términos al primer miembro quedando: y + 5x -11 = 0

 SI TE QUEDAS CON DUDAS PUEDES VER LOS SIGUIENTES VÍDEOS:

 Ecuación de la recta, conocidos dos puntos

Ecuación de la recta conocida la pendiente y un punto