LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

• La circunferencia: "Es una línea curva cerrada, en la que todos sus puntos están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro".

• Elementos de una circunferencia:

- Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.
- Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.
- Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.
- Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.

- Arco: Parte de la circunferencia, comprendida entre dos de sus puntos.

•  Longitud de la circunferencia:  para calcular la longitud de una circunferencia, utilizamos la siguiente fórmula:

donde r es el radio y el número "pi" lo aproximamos por 3,14.



Si tienes dudas sobre cómo calcular la longitud de una circunferencia consulta el siguiente vídeo:  

• Longitud de un arco de circunferencia: para calcular la longitud de un arco de una circunferencia de radio, r, y de ángulo central que mide nº, se utiliza la fórmula:

Si tienes dudas sobre cómo calcular la longitud de un arco de circunferencia, puedes ver un ejemplo en el siguiente vídeo:

• El círculo: "es la superficie delimitada por una circunferencia". 

•  Área del círculo: para calcular la longitud de una circunferencia, utilizamos la siguiente fórmula:

donde r es el radio y el número "pi" lo aproximamos por 3,14.

Sienes dudas sobre cómo calcular el área de un círculo, consulta los siguiente vídeo:  

  

• Área de un sector circular : para el área de un sector circular de radio r y de ángulo central de amplitud nº, se utiliza la siguiente fórmula:

Sienes dudas sobre cómo calcular el área de un sector circular, consulta los siguiente vídeo:  

FUNCIONES A TROZOS

Una función a trozos es aquella que tiene distintas expresiones algebraicas para diferentes intervalos.

Por ejemplo:

          

Esto significa que esta función tendrá una gráfica distinta en cada uno de los tramos indicados, para valores menores o iguales que dos y para valores mayores que 2. En este ejemplo, el punto x=2 (que es el valor donde se divide en dos el dominio) la función puede presentar una discontinuidad de salto finito o evitable o sin embargo que la función sea continua,  eso ya dependerá de cada caso. 

Para saber cómo se representa gráficamente dicha función mira el siguiente vídeo y copia en el cuaderno como se hace dicha representación (no ver ni hacer el segundo ejemplo del vídeo, hoy solo vamos a ver funciones a trozos que sean trozos de rectas):

FUNCIONES CUADRÁTICAS

 Funciones polinómicas de grado 2: funciones cuadráticas

Una función cuadrática tiene la expresión:

siendo a≠0.

La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola. Para dibujar dicha parábola tenemos que estudiar las siguientes características:

• Posición: Las parábolas tienen forma de $\cup$ (si a>0) o de $\cap$ (si a<0).
• Vértice: Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a<0) o un mínimo (si a>0), este punto es el vértice de la parábola.

            - La primera coordenada del vértice es: 

            - La segunda coordenada es la imagen del valor obtenido antes:

• Eje de la parábola: La parábola es simétrica respecto de la recta vertical que pasa por su vértice, a esta recta se le llama eje de la parábola.
• Punto de corte con el eje Y: Que será (0,c), pues f(0)=c.
• Puntos de corte con el eje X: Que los obtenemos resolviendo la ecuación.
• Tabla de valores: Completaremos con una tabla de valores, pero hay que dar valores próximos al vértice y que no sean los puntos de corte con el eje X.

Visualiza el siguiente vídeo para ver cómo se hace:

INICIACIÓN A LAS ECUACIONES DE LA RECTA

Vamos a ver cómo se obtiene la ecuación de una recta, hay muchas ecuaciones de la recta pero nos centraremos en tres de ellas:

- Ecuación punto-pendiente
- Ecuación explícita
- Ecuación general o implícita

Pero, antes de esto vamos a ver cómo se calcula la pendiente de una recta, conocidos dos puntos de la misma.

• Obtención de la pendiente conociendo dos puntos  de una recta:

 La pendiente de la recta que pasa por dos puntos conocidos, se obtiene  mediante este cálculo: 

Ejemplos: Pueden darnos la recta dibujada, entonces cogemos dos puntos de la misma, caso a); o bien, pueden darnos directamente dos puntos, caso b)

• Ecuación de la recta conocido un punto y su pendiente:

A la siguiente ecuación se le llama ecuación punto-pendiente de la recta: 

   

_,   donde m es la pendiente y P(x₁, y₁) son las coordenadas del punto.

Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto  y m=-2. 

Sustituyendo en la ecuación punto-pendiente con  e , y m=-2 tenemos que (y-3) = -2(x-(-1)), multiplicando obtenemos: y-3 =-2x-2, de donde despejando la variable y, obtenemos: y= -2x +1

NOTA: Esta última es la ecuación que solemos conocer de las funciones afines, es del tipo y=mx+n, a esta ecuación se le llama ecuación explícita de la recta.

Si en cambio, en el ejemplo anterior, pasamos todos los términos a un mismo miembro, quedará: y+2x-1=0.

NOTA: Ésta última forma de expresar la ecuación, que es del tipo ay+bx+c=0,  es la llamada ecuación general o implícita de la recta.

•  Ecuación de la recta conocidos dos puntos:

Como conocemos dos puntos, podemos calcular su pendiente con la fórmula dada en el apartado anterior y ya con la pendiente y cualquiera de los puntos que nos dan, procedemos como antes.

Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B( 3, -4).

Calculamos la pendiente: 

Con la pendiente m = -5 y con el punto A(2,1), puede ser también con el B, calculamos la ecuación punto- pendiente:  y-1= -5(x-2). 

Si queremos o nos piden la ecuación explícita, despejamos la variable y, quedando:       y = -5x+11.

Si queremos o nos piden la ecuación general, pasamos todos los términos al primer miembro quedando: y + 5x -11 = 0

 SI TE QUEDAS CON DUDAS PUEDES VER LOS SIGUIENTES VÍDEOS:

 Ecuación de la recta, conocidos dos puntos

Ecuación de la recta conocida la pendiente y un punto

FUNCIONES LINEALES Y AFINES

 1. Funciones polinómicas de primer grado

1.1. Tipos de funciones polinómicas de primer grado:

Hay tres tipos de funciones polinómicas de primer grado, en todas ellas su representación gráfica es una recta.

a) Función lineal o de proporcionalidad directa es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y  = mx, siendo m un número cualquiera distinto de 0.

• Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0,0).
• El número m se llama "pendiente".
• La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.

b) Función afín es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx + n, siendo m y n números distintos de 0.

• Su gráfica es una línea recta.
• El número m es la "pendiente".
• La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.
• El número n es la "ordenada en el origen". La recta corta al eje Y en el punto (0,n).

c) Función constante es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = n.

• Su gráfica es una línea recta paralela al eje X, pues su pendiente es cero.
• La recta corta al eje Y en el punto (0,n).

¿No entiendes la diferencia entre funciones lineales y afines? Puedes ver el siguiente vídeo:

(Copiamos en el cuaderno)

1.2. Representación polinómicas de primer grado:

Vamos a hacer un ejemplo, según cada tipo, tal y como quiero que me lo hagáis en los ejercicios:

a) Función lineal: Representamos la función y= 2x

Sabemos que pasa por (0,0).

Para obtener más puntos, vamos a obtener dos más, hacemos una tabla de valores y representamos los tres puntos en los ejes de coordenadas. Dibujamos la recta que pasa por esos tres puntos.

b) Función afín: Representamos la función y= 2x-1

No pasa por (0,0) así que lo primero que hacemos es calcular sus puntos de corte con los ejes (dado en el tema 9)

Para obtener más puntos, vamos a obtener dos más, hacemos una tabla de valores y representamos los cuatro puntos en los ejes de coordenadas. Dibujamos la recta que pasa por esos tres puntos.

c) Función constante: Representamos la función  y= 3

• Su gráfica es una línea recta paralela al eje X, pues su pendiente es cero.
• La recta corta al eje Y en el punto (0,3).

ÁREAS Y PERÍMETROS DE POLÍGONOS SIMPLES

• Perímetro de un polígono : "Es la suma de la longitud de todos sus lados, su unidad principal son los metros"

• Área de figuras planas:  "El área de un polígono es  la medida de la superficie que ocupa, su unidad principal son los metros cuadrados".

Fórmulas para calcular las áreas de los polígonos:

Vídeos que te pueden ayudar:

Área y perímetro de un triángulo

Área y perímetro de un rectángulo

Área y perímetro de un rombo:

Área y perímetro de un trapecio:

Área y perímetro de un polígono regular:

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

En los siguientes vídeos encontrarás curiosidades matemáticas: ¿para qué sirven los logaritmos?, ¿qué es el número Pi? , ¿y el número de oro?. Así como las propiedades del triángulo de Tartaglia, de la sucesión de Fibonacci y, como no, la historia de  las matemáticas, del número uno y muchas cosas más

• LEONARDO DA VINCI, NÚMERO DE ORO

https://youtu.be/RS1TzN9MM70?si=se0c8u0PM3f2AFsy

Al final de esta entrada tienes muchos mas Vídeos sobre las curiosidades del número de oro.

• ¿PARA QUÉ SIRVEN LOS LOGARITMOS? 

https://youtu.be/BVNl8_9L67k                                                                                       (Duración: 9 min)

• ¿QUÉ ES EL NÚMERO e ?

 https://youtu.be/Z5czpA-fyMU                                                                                      (Duración 4 min)

• ¿QUÉ ES LA SUCESIÓN DE FIBONACCI?

https://youtu.be/3dGv_pzIwkY

(Duración:5:34min)

• SECUENCIA DE FIBONACCI- FRACTALES - PROPORCIÓN AÚREA

https://youtu.be/A1KwKkh-03c

(Duración 3:43 min)

• SUCESIÓN DE FIBONACCI Y EL NÚMERO DE ORO

https://youtu.be/yDyMSliKsxI

(Duración 6 min) 

• SUCESIÓN DE FIBONACCI EN LA NATURALEZA

https://youtu.be/ctRIK56jV3k

(duración 5 min)

• GRANDES TEMAS DE LAS MATEMÁTICAS:   SUCESIÓN DE FIBONACCI

https://youtu.be/0d4o57I3rn4

(Duración 24:30  min) 

• EL TRIÁNGULO DE PASCAL (Curiosidades)

https://youtu.be/DPxIbJ-Rbf4

(Duración 4:23 min)

• LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS  (El genio de oriente)  

https://youtu.be/qsXwV-2yH6c

  (Duración 58 min.)

•  EL GRAN MISTERIO DE LAS MATEMÁTICAS

https://youtu.be/STe6B-c-jn8

(Duración 52 min.)

• EL NÚMERO PI (3 formas para saber su valor)

https://youtu.be/DQ5qqHukkAc

(duración 6 min.)

• EL NÚMERO PI (historia del número pi)

https://youtu.be/uFNN9NJMkFs

(duración 25 min.)

• PITÁGORAS (El legado de los pitagóricos)

https://youtu.be/9xSa1gYUY60

(Duración 41 min.)

                                

• FRACTALES (La dimensión oculta)

https://youtu.be/eC7BesVnEUQ

(Duración 52 min.)

• EL NÚMERO DIVINO ( el numero divino de Fibonacci)

https://youtu.be/6bQzypK1ZNg

 (duración 6:19 min)

• EL NÚMERO DE ORO. EL SELLO DE DIOS 

https://youtu.be/I5VOyEKAPOk

 (duración 14:59 min)

• EL NÚMERO UNO (Historia del número uno)

https://youtu.be/EHv3fJ6k6Xw

(Duración 58 min.)

MOSAICOS

LOS MOSAICOS DE LA ALHAMBRA

La Alhambra de Granada, fue el palacio de la dinastía nazarí, que reinó Granada hasta su conquista por los Reyes Católicos en 1492. Es un impresionante monumento de arte geométrico y uno de los más visitados en todo el mundo.

En él, aparecen frisos y mosaicos que admiten todos los grupos posibles de simetría.

Ver mosaicos nazaríes

Veamos un vídeo sobre los mosaicos de la Alhambra:

 MOSAICOS REGULARES

 

       Se llaman mosaicos regulares a los formados por un solo tipo de polígono regular, hemos de tener en cuenta que:

• Los polígonos que intervienen en el mosaico tendrán la misma longitud para el lado. 
• En los vértices del mosaico concurrirán un vértice de cada polígono que intervenga en el mosaico. 

     Se observa que, para que un polígono regular pueda rellenar el          plano sin dejar huecos ni producir solapamientos, el ángulo interior debe ser un divisor de 360º y menor que 180º.

Es decir, si se utiliza un único polígono regular, este tiene que ser o triángulo equilátero o cuadrado o hexágono regular cuyos ángulos interiores son 60º, 90º y 120º, respectivamente.

Ver construcción

MOSAICOS DE ESCHER

 Maurits Cornelis Escher (1898-1972) abandonó pronto los estudios de arquitectura para especializarse en las técnicas gráficas.

Este holandés, nacido en Leewarden, muy conocido por sus famosas figuras imposibles se planteó el problema de recubrir el plano con un mismo motivo.


Probablemente sus viajes a Granada fueron una buena fuente de inspiración, de hecho su técnica es muy similar a la utilizada en los mosaicos de la Alhambra. 

En el siguiente vídeo se muestran sus impresionantes mosaicos:

CONSTRUCCIÓN DE MOSAICOS DE ESCHER

El siguiente enlace te llevará a una página en la que se explica, de forma interactiva, cómo se construyen algunos de las figuras que aparecen en los mosaicos de Escher.

Ver construcción de mosaicos de Escher

También puedes ver un par de ejemplos en los siguientes vídeos:

Más mosaicos de Escher:

CREAR NUESTROS PROPIOS TESELADOS

 Por si aún te faltan ideas para crear tu propio mosaico, en el siguiente vídeo tienen unas pocas:

RESOLVER PORCENTAJES CON PROPORCIONES

Un problema de porcentajes siempre se puede resolver utilizando la siguiente proporción:

                              

Vamos a ver cómo se harían los distintos tipos de problemas que pueden aparecer:

• Calcular la parte, conocidos el total y el porcentaje.

Ejemplo: El 40% de los 30 alumnos de una clase llevan gafas, ¿cuántos alumnos de la clase lleva gafas?

• Calcular el porcentaje, conocido el total y la parte:

Ejemplo: De los 30 alumnos de una clase  6 han suspendido las matemáticas, ¿qué porcentaje de la clase ha suspendido?

• Calcular el total conocido el porcentaje y la parte:

Ejemplo: Me he gastado 12€ en un regalo para mi amigo Javier, si esto era el 20% del dinero que tenía ahorrado en mi hucha. ¿Qué dinero tenía ahorrado en la hucha antes de comprar el regalo?

• Disminuciones porcentuales:

Ejemplo: ¿cuánto me costará un artículo de 150 € si me hacen una rebaja del 20%?

Hay dos formas de hacerlo.

1ª Forma: Calcular la cantidad que me rebajan y luego se lo RESTAMOS al precio original.

Sería así:

2ª Forma: Si me rebajan el 20%, entonces pago el 100 - 20 = 80%. Así que calculamos directamente lo que vamos a pagar, es decir, el 80% de 150€. 

Sería así:

• Aumentos porcentuales:

Ejemplo: ¿cuánto me costará un artículo de 150 € si hay que añadirle el 21% de IVA?

Hay dos formas de hacerlo.

1ª Forma: Calcular la cantidad que supone el IVA y luego se lo SUMAMOS al precio original.

Sería así:

2ª Forma: Si me suben el 21%, entonces pago el 100 + 21 = 121%. Así que calculamos directamente lo que vamos a pagar, es decir, el 121% de 150€. 

Sería así:

Si tenéis más dudas estos vídeos os pueden ayudar:

¿Qué es un porcentaje y cómo se calcula?

Aumentos y disminuciones porcentuales

DOMINIO Y RECORRIDO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x). 

Recorrido o imagen: Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente (y).

Gráficamente, podemos calcular el dominio y el recorrido de la siguiente manera:

Vídeos que os pueden ayudar:                              

Enlace a ejercicio interactivo: Calcular dominios y recorridos

DESCUBRE LA PALABRA SECRETA MATEMÁTICA

En esta entrada os propongo poneros a prueba con un juego interactivo, en el que tendréis que averiguar la palabra tras leer una definición de la misma.

Consejo de utilización: empieza leyendo las definiciones que aparecen en el rosco y apunta en un papel las respuestas, cuando hayas terminado, pasa a la página de las soluciones y comprueba cuántas palabras has acertado.

El juego ha sido creado por un alumno de 3º de ESO, José Francisco Moreno Montiel, dentro del Programa "Trabajando los Talentos" en el que estoy trabajando con alumnos y alumnas de Altas Capacidades.

¡Espero que disfrutéis del juego!

Descubre la palabra secreta

Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia

El Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia, que se celebra cada año el 11 de febrero, fue aprobado por la Asamblea General de las Naciones Unidas con el fin de lograr el acceso y la participación plena y equitativa en la ciencia para las mujeres y las niñas, y además para lograr la igualdad de género y el empoderamiento de las mujeres y las niñas. 

Este Día es un recordatorio de que las mujeres y las niñas desempeñan un papel fundamental en las comunidades de ciencia y tecnología y que su participación debe fortalecerse. La celebración de este día está dirigida por la UNESCO y ONU-Mujeres, en colaboración con instituciones y socios de la sociedad civil que promueven el acceso y la participación de mujeres y niñas en la ciencia.

En el siguiente enlace podrás consultar el nombre y la vida de mujeres científicas que han destacado a lo largo de la historia.

Tabla periódica de mujeres científicas

UNA DOCENA DE NÚMEROS

Escribe en las casillas cuadradas, los números naturales del uno al doce, de manera que las filas y las columnas sumen la cantidad indicada en cada círculo:

- Los números no pueden repetirse.
- El número 12 se encuentra en una esquina.

SOLO CON UNOS

   Utilizando cualquier operación aritmética (suma, resta, multiplicación o división)
   debes conseguir el número 

25  

Para ello, solo puedes utilizar el número 1 diez veces y ningún otro número distinto de uno.

EXACTAMENTE POR LA MITAD

La siguiente cuadrícula tienes que dividirla en dos partes exactamente iguales, tanto en superficie como en forma. Además el nº de unos y de doses en cada parte ha de ser la misma, sumando un total de 27 puntos.

LA BALANZA

Observa la siguiente balanza:

Tienes que averiguar hacia qué lado se inclinará la balanza, siguiendo las siguientes pistas:

1. Cuatro bolas rojas pesan los mismo que cinco bolas verdes.

2. Dos bolas verdes y una roja, pesan lo mismo que una amarilla.

VOLVEMOS AL TAMGRAM

Con las piezas del Tamgram deberás conseguir hacer la siguiente figura:

Puedes hacerte en casa tu propio Tamgram con la siguiente plantilla

ESTO NO SON LAS TRES EN RAYA

Observa el siguiente tablero de 8x8:

Objetivo del juego:

Has de completar las casillas con "X" y con "O" atendiendo a una serie de reglas básicas:

1. No puede haber tres símbolos iguales consecutivos, ni por filas ni por columnas.
2. En cada fila hay cuatro "X" y cuatro "O".
3. Las secuencias no pueden repetirse ni en filas distintas ni en columnas distintas.

CONEXIONES ESTELARES

Puedes observar que cada estrella tiene un número en su interior. Ese número indica el total de conexiones que llegan o salen de esa estrella.

Objetivo: 

Debes marcar las conexiones que hay entre todas las estrellas. Para ello debes tener en cuenta las siguientes reglas.

1. Entre dos estrellas puede haber como máximo dos conexiones.

2. No puede quedar ninguna estrella sin conexiones.

3. Las conexiones no pueden hacerse en diagonal ni tampoco cruzarse con otras conexiones.

Un último consejo: ¡utiliza un lápiz! Posiblemente tendrás que borrar más de una vez.